Penggunaan Turunan Fungsi Trigonometri

 

KATA PENGANTAR

 

Puji syukur kehadirat Tuhan yang Maha Esa, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini yang membahas tentang “Penggunaan Turunan Fungsi Trigonometri“. Penyusunan makalah ini dibuat dan diajukan untuk memenuhi  tugas Matematika.

Selaku tim penyusun, kami berterima kasih kepada pihak- pihak yang telah membantukami lewat bimbingan dan petunjuk yang sangat membantu suksesnya penyusunan makalah kami .

Kami selaku penyusun makalah ini, menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan . Oleh karena itu, kami mengharapkan tegur sapa, kritik dan saran yang bersifat membangun dari guru dan seluruh pembaca makalah ini, agar dapat dijadikan pedoman dalam penyusunan makalah selanjutnya. Semoga makalah ini dapat bermanfaat dalam rangka menunjang keberhasilan pembangunan khususnya di bidang pendidikan.

 

Pinangsori,    Februari 2021

 

Penyusun

 

DAFTAR ISI

 

KATA PENGANTAR .............................................................................          i

DAFTAR ISI .............................................................................................          ii

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................          1

A.    Latar Belakang Masalah ..................................................................          1

B.     Rumusan Masalah ...........................................................................          1

BAB II PEMBAHASAN ..........................................................................          2

A.    Pengertian dari Turunan ..................................................................          2

B.     Pengertian dari Turunan Fungsi ......................................................          2

C.     Rumus Dasar dari Turunan Fungsi...................................................          3

D.    Pengertian  Turunan Fungsi Trigonometri........................................          3

E.     Rumus Turunan Trigonometri..........................................................          3

F.      Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I............................          8

G.    Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II..........................          8

BAB III PENUTUP...................................................................................          12

A.    Kesimpulan .....................................................................................          12

DAFTAR PUSTAKA...............................................................................          13

BAB I

PENDAHULUAN

 

A.    Latar Belakang

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Turunan merupakan operasi matematika yang tidak asing lagi bagi seorang mahasiswa. Namun tidak dipungkiri bahwa dalam menyelesaikan operasi turunan membutuhkan waktu yang cukup lama karena harus menyelesaikan perhitungan-perhitungan yang cukup rumit dan hasilnya pun belum tentu kebenarannya. Banyak permasalahan sehari-hari yang menggunakan konsep turunan fungsi trigonometri dalam penyelesaiannya. Dalam makalah ini akan dibahas rangkuman materi tentang turunan fungsi trigonometri serta contoh soal disertai pembahasannya.

 

B.     Rumusan Masalah

1.      Bagaimana definisi turunan trigonometri ?

2.      Bagaiamana rumus turunan trigonometri ?

 

BAB II

PEMBAHASAN

 

A.    Pengertian dari Turunan

Turunan atau Deriviatif adalah suatu pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah yang dimana sering dengan perubahan nilai input.

Pada dasarnya, turunan atau deriviatif ini akan menyatakan suatu besaran yang berubah karena terjadinya perubahan besaran yang lainnya. Seperti misalnya turunan dari posisi suatu benda yang bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat oleh objek tersebut.

Perlu diketahui bahwa proses dalam menemukan suatu turunan disebut dengan diferensiasi. Untuk kebalikan dari suatu turunan sendiri biasa disebut sebagai Anti Turunan. Teorema fundamental kalkulus menyebutkan bahwa anti turunan berarti sama seperti integrasi. Turunan dan juga integral merupakan 2 fungsi yang paling penting dalam kalkulus.

Keterangan :

 

B.     Pengertian dari Turunan Fungsi

Pengertian dari turunan fungsi atau diferensial adalah sebuah fungsi lain daripada sesuatu fungsi yang sebelumnya, seperti misalnya pada fungsi f berubah menjadi f’ yang mana mempunyai nilai tak beraturan.

Sebuah konsep dari turunan yang merupakan bagian utama pada kalkulus diciptakan oleh seorang ahli matematika yang juga merupakan ahli fisika yang berasal dari Inggris yaitu Sir Isaac Newto dan juga ahli matematika berkebangsaan Jerman yaitu Gottfried Wilhelm Leibniz.

C.    Rumus Dasar dari Turunan Fungsi

Untuk soal aturan-aturan yang pada umumnya ada didalam konsep turunan fungsi adalah sebagai berikut ini :

1.      f(x), menjadi f'(x) : 0

2.      Jik  f(x) : x, maka f’(x) : 1

3.      Aturan pangkat : jika f(x) : xⁿ, maka berarti f’(x) : n X ^{n – 1}

4.      Aturan kelipatan konstanta : jika (kf) (x) : k. f’(x)

5.      Aturan rantai : jika ( f o g ) (x) : f’ (g (x)). g’(x))

D.    Pengertian  Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan dari sebuah fungsi pada titik yang tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang hampir mendekati nilai input. Turunan trigonometri merupakan suatu persamaan yang melibatkan berbagai fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan juga csc.

E.     Rumus Turunan Trigonometri

Pada umumnya turunan trigonometri lebih mengacu pada definisi turunan. Fungsi-fungsi f(x_ = sin x dan g(x) = tan x, keduanya memiliki turunan yang bisa dideferensialkan yakni turunan sin x merupakan f’(x) = cos x dan turunan cos x yaitu g’(x) =sec2x. Hal ini bisa dibuktikan dengan mudah yaitu dengan menggunakan rumus f’(x) = limh→0fx+h-f(x)h, sehingga bisa ditentukan rumus turunan fungsi trigonometri.

Berikut ini adalah beberapa rumus turunan fungsi trigonometri :

1.      Turunan Fungsi sin x

Untuk melakukan perhitungan pada turunan dari f(x) = sin x maka Anda harus mengkombinasikan limit dengan identitas jumlah sudut untuk fungsi sinus:

sin (x + h) = sin x. cos h + cos x. sin h

Jika f(x) = sin x, maka:

Jadi turunan dari fungsi sin x adalah sebagai berikut ini :

2.      Turunan Fungsi cos x

Untuk melakukan perhitungan pada turunan dari f(x) = cos x maka Anda harus mengkombinasikan limit dengan identitas jumlah sudut untuk fungsi cosinus :

cos (x + h) = cos x. cos h – sin x. sin h

Apabila f(x) = cos x, maka :

3.      Turunan Fungsi tan x

Untuk melakukan perhitungan dari f(x) = tan x, maka Anda harus menggunakan aturan-aturan turunan pada hasil bagi atau pembagian. Selanjutnya Anda bisa menggunakan turunan fungsi sin x dan juga cos x yang telah dicari sebelumnya.

4.      Turunan Fungsi sec x

Untuk melakukan perhitungan turunan dari f(x), Anda harus menggunakan aturan-aturan identitas trigonometri dan juga aturan pembagian dalam turunan.

5.      Turunan Fungsi csc x

Untuk caranya tidak jauh berbed dengan turunan fungsi sec x, yakni dengan menggunakan aturan identitas trigonometri csc x dan juga aturan pembagian turunan :

6.      Turunan Fungsi Cot x

Anda bisa mengulangi lagi cara yang sama yang telah dilakukan, yakni dengan menggunakan aturan identitas dan juga aturan turunan dalam pembagian:

 

F.     Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I

Berikut ini adalah turunan dari banyak fungsi seperti rumus sin, cos, tan, sec, csc, dan juga tan dalam variabel sudut ax, dimana a merupakan bilangan real dengan a ≠ 0:

• f(x) = sin ax, maka f'(x) = a cos ax
• f(x) = cos ax, maka f'(x) = -a sin ax
• f(x) = tan ax, maka f'(x) = a sec² ax
• f(x) = sec ax, maka f'(x) = a sec ax. tan ax
• f(x) = csc ax, maka f'(x) = -a csc ax. cot ax
• f(x) = cot ax, maka f'(x) = -a csc² ax

G.    Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II

Berikut ini adalah turunan dari banyak fungsi seperti rumus sin cos tan, sec, csc, dan tan dalam variabel sudut ax + b, dimana a dan b merupakan bilangan real dengan a ≠ 0: Jika,

• f(x) = sin (ax + b), maka f'(x) = a cos (ax + b)
• f(x) = cos (ax + b), maka f'(x) = -a sin (ax + b)
• f(x) = tan (ax + b), maka f'(x) = a sec² (ax + b)
• f(x) = sec (ax + b), maka f'(x) = a sec (ax + b). tan (ax + b)
• f(x) = csc (ax + b), maka f'(x) = -a csc (ax + b). cot (ax + b)
• f(x) = cot (ax + b), maka f'(x) = -a sec² (ax + b)

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal Nomor 1

Turunan dari y=3sinx−cosx adalah ⋯⋅

Pembahasan :

Ingat kembali bahwa:

f(x)=sinx⟹f′(x)=cosxf(x)=cosx⟹f′(x)=−sinx

Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh

y=3sinx−cosx⟹y′=3cosx−(−sinx)=3cosx+sinx
Jadi, turunan dari y=3sinx−cosx adalah 3cosx+sinx

Soal Nomor 2

Jika g(x)=3x2−12x2+2cosx, maka g′(x) sama dengan ⋯⋅

Pembahasan :

Ingat kembali bahwa:

f(x)=cosx⟹f′(x)=−sinx

Dengan menggunakan fakta di atas dan aturan turunan fungsi aljabar, kita peroleh
g(x)=3x2−12x2+2cosx=3x2−12x−2+2cosxg′(x)=3(2)x−12(−2)x−3+2(−sinx)=6x+1x3−2sinx
Jadi, hasil dari g′(x)=6x+1x3−2sinx

 

Soal Nomor 3

Jika h(x)=2sinx+cosx

(x dalam satuan radian), maka nilai dari h′(12π) adalah ⋯⋅

Pembahasan :

Ingat kembali bahwa:

f(x)=sinx⟹f′(x)=cosxf(x)=cosx⟹f′(x)=−sinx

Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh

h(x)=sinx+cosx⟹h′(x)=2cosx+(−sinx)=2cosx−sinx
Untuk x=12π, kita peroleh

h′(12π)=2cos12π−sin12π=2(0)−1=−1
Jadi, nilai dari h′(12π)=−1

Soal Nomor 4

Hasil diferensial dari T(x)=(sinx+1)(sinx−2) adalah ⋯⋅

Pembahasan  :

Gunakan aturan hasil kali turunan.

f(x)=uv⟹f′(x)=u′v+uv′

Diketahui T(x)=(sinx+1)(sinx−2).

Misalkan:
u=sinx+1⟹u′=cosxv=sinx−2⟹v′=cosx
Dengan demikian, kita peroleh

T′(x)=u′v+uv′=(cosx)(sinx−2)+(sinx+1)(cosx)=cosxsinx−2cosx+cosxsinx+cosx=2sinxcosx−cosx=sin2x−cosxUretan: sin2x=2sinxcosx

Jadi, hasil diferensial (turunan) dari fungsi tersebut adalah T′(x)=sin2x−cosx

Soal Nomor 5

Jika f(x) = sinx+cosxsinx,  sin x ≠ 0 dan f' adalah turunan f, maka f'(π2) = .....

Pembahasan:

f(x) = sinx+cosxsinx

Misalkan:
u(x) = sin x + cos x, maka:

u'(x) = cos x - sin x

v(x) = sin x, maka v'(x) = cos x

f(x) = u(x)v(x)

f'(x) = u′(x).v(x)−u(x).v′(x)[v(x)]2

       = (cosx−sinx).(sinx)−(sinx+cosx).(cosx)[sinx]2

f'(π2) = (cosπ2−sinπ2).(sinπ2)−(sinπ2+cosπ2).(cosπ2)[sinπ2]2

f'(π2) = (0−1).(1)−(1+0).(0)(1)2

f'(π2) = −1−01

f'(π2) = -1

 

Soal Nomor 6

Turunan fungsi y = tan x adalah.....

Pembahasan:

y = tan x

y = sinxcosx

Misalkan:

u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x

v(x) = cos x, maka v'(x) = -sin x

y = u(x)v(x)

y = u′(x).v(x)−u(x).v′(x)[v(x)]2

   = cosx.cosx−sinx.(−sinx)[cosx]2

   = cos2x+sin2xcos2x

   = sin2x+cos2xcos2x

   = sin2xcos2x + cos2xcos2x

   = (sinxcosx)2 + 1

   = (tan x)² + 1

   = tan²x + 1

 

Soal Nomor 7

Jika f(x) =  a tan x + bx dan f'(π4) = 3, f'(π3) = 9, maka (a + b) = .....

Pembahasan:

f(x) =  a tan x + bx

f'(x) = a . 1cos2x + b

f'(π4) = a . 1cos2π4 + b

<=> 3 = a . 1((√2)/2)2 + b

<=> 3 = 2a + b ............(1)

f'(π3) = a . 1cos2π3 + b

<=> 9 = a . 1(½)2 + b

<=> 9 = 4a + b..............(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:

2a + b = 3

4a + b = 9  -

<=> -2a = -6

<=> a = -6/-2

<=> a = 3

Subtitusi nilai a = 3 ke persamaan (1), diperoleh:

2(3) + b = 3

6 + b = 3

      b = 3 – 6

      b = -3          

Jadi, a + b = 3 + (-3) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BAB III

PENUTUP

 

A.    Kesimpulan

Turunan trigonometri adalah persamaan turunan yang melibatkan fungsi - fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc.Untuk menentukan turunan fungsi trigonometri dapat dicari sebagai berikut :

f '(x) =limh→0fx+h-f(x)h

Maka diperoleh rumus turunan fungsi trigonometri :

1.      y = (sinx) makay' = cosx

2.      y = (cosx) makay' = -sinx

3.      y = (tanx) makay' = ^sec2x

4.      y = (cotx) makay' = ^-cosec2x

5.      y = (secx) makay' = secxtanx

6.      y = (cosecx) makay' = -cosecxcotx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DAFTAR PUSTAKA

 

Razali Muhammad, dkk. 2010. Kalkulus Diferensial. Bogor: Ghalia Indonesia.

Hw, Slamet. 2000. Kalkulus. Surakarta : Muhammadiyah University Press.