MATRIKS DAN VEKTOR

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT karena atas rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “MATRIKS DAN VEKTOR” dengan sebaik-baiknya.

Dalam penyusunan makalah ini, penulis menyadari bahwa penyusunan makalah ini tidak akan selesai dengan lancar dan tepat waktu tanpa adanya bantuan, dorongan, serta bimbingan dari berbagai pihak. Sebagai rasa syukur atas terselesainya makalah ini, maka dengan tulus penulis sampaikan terima kasih kepada pihak-pihak yang turut membantu yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu.

Dalam penyusunan makalah ini, penulis menyadari masih banyak kekurangan baik pada teknik penulisan maupun materi. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat penulis harapkan demi penyempurnaan pembuatan makalah ini.

Akhir kata, penulis berharap semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan dapat diterapkan dalam menyelesaikan suatu permasalahan yang berhubungan dengan judul makalah ini.

Lumut, November 2019

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ............................................................................. i

DAFTAR ISI ............................................................................................. ii

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................ 1

A. Latar Belakang Masalah .................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ........................................................................... 1

BAB II PEMBAHASAN .......................................................................... 2

A. MATRIKS ...................................................................................... 2

1. Pengertian Matriks ................................................................... 2

2. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan .................................... 3

3. Bentuk-bentuk Khas Matriks .................................................... 4

4. Determinan ................................................................................ 6

5. Minor dan Kofaktor .................................................................. 7

6. Sifat-sifat Matriks ..................................................................... 7

B. VEKTOR ........................................................................................ 8

1. Pengertian Vektor ..................................................................... 8

2. Notasi Vektor ............................................................................ 8

3. Operasi – operasi pada vector ................................................... 8

4. Susunan Koordinat Ruang-n ..................................................... 10

5. Ruang Vektor ............................................................................ 11

6. Kombinasi Linier ....................................................................... 12

7. Pemetaan (Transformasi Linear) ............................................... 14

BAB III PENUTUP................................................................................... 15

A. Kesimpulan ..................................................................................... 15

DAFTAR PUSTAKA .............................................................................. 16

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam materi ini kita akan membahas materi tentang Aljabar Vektor dan Aljabar Matriks. Yang mungkin sudah pernah dipelajari pada waktu SMA. Namun demikian, materi ini akan diberikan dalam makalah ini bukan hanya sekedar mengulang. Tetapi diharapkan pula dapat memberikan wawasan yang luas mengenai pendefinisian pemutasi dan kombinasi .

Untuk mendukung kelancaran anda terhadap peguasaan materi dalam makalah ini perlu juga dipelajari teknik menghitung yang mencakup prinsip perkalian dan penjumlahan serta permutasi dan kombinasi

B. Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud konsep matriks ?

2. Apa yang dimaksud dengan vektor ?

3. Apa yang dimaksud determinan matriks ?

4. Apa yang dimaksud dengan ruang vektor ?

BAB II

MATRIKS DAN VEKTOR

A. MATRIKS

1. Pengertian Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung. Secara umum matriks dituliskan sebagai:

atau

Penulisan matriks dapat menggunakan tanda kurung biasa atau tanda kurung siku. Bilangan – bilangan yang terkandung di dalam suatu matriks dinamakan unsur. Jajaran unsur-unsutr matriks dinamakan baris, sedangkan jajaran vertikal unsur – unsur matriks dinamakan kolom.

Suatu matriks dapat dibuat menurut susunan-susunan yang diinginkan mengikuti logika-logika dasar pada susunan persamaan-persmaan yang dibuat. Aljabr matriks maenyediakan cara lainnya guna menyusun persaman-persamaan aljabar sebagaimana aljabar sedemikian rupa sehingga tampak menjadi lebih sederhana dan mudah dikerjakan.

Berikut ini adalah contoh-contoh mengenai empat persamaan yang di maksud.

Persamaan – persamaan tersebut dapat disusun kembali ke dalam bentuk matriks seperti yang terlihat di bawah ini:

A B C

Contoh-contoh matriks:

Contoh yang pertama adalah matriks beorde 2 x 3, sebab mempunyai 2 baris dan kolom. Yang kedua merupakan matriks berorde 3 x 2, karena memiliki 3 baris dan 2 kolom. Adapun yang terakhir ialah matriks berorde 2 x 2 dan merupakan matriks bujursangkar. Jika matriks pertama dan kedua. Jika matriks pertama dan kedua serta ketiga masing-masing diberi nama A dan B dan C, maka dapatlah dituliskan: A_2x3 dan B_3x2 serta C_2x2.

2. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Metode ini dalam operasinya mengerjakan penjumlahan secara horizontal, baik untuk operasi penjumlahan maupun operasi pengurangan. Berikut ini diperlihatkan masing-Msing contoh untuk operasi penjumalahan dan operasi pengurangan.

a. Operasi penjumlahan

A B C

Dengan kata lain matriks A + B = C

b. Operasi pengurangan

A B C

Dengan kata lain matriks A - B = C

c. Operasi Perkalian

A B C

Jalur pemecahan:

Hukum pada penjumlahan dan perkalian scalar :

Jika A, B, C adalah matrik berukuran sama, dan k adalah skalar maka

· Kaidah komutatif A + B = B + A

· Kaidah asosiatif (A + B) + C = A + (B+C)

· Kaidah distributf k (A + B) = kA + kB

Hukum pada perkalian matrik :

· Kaidah asosiatif A(BC) = (AB)C

· Kaidah distributif A(B + C) = AB + AC, dan

(B + C) A = BA + CA

3. Bentuk-bentuk Khas Matriks

Matriks mempunyai berbagai bentuk khas berkenaan dengan unsur-unsur yang dikandungya.

a. Matriks satuan

Martiks satuan atau matriks identitas adalah matriks bujursangkar yang semua unsur pada diagonal utama adalah angka 1 sedangkan unsur-unsur lainnya adalah 0.

Contoh :

b. Matriks Diagonal

Matriks diagonal ialah matriks bujursangkar yang semua unsurnya nol kecuali pada diagonal utama.

Contoh:

c. Matriks Nol

Matriks nol ialah yang semua matriksnya adalah nol matriks seperti ini lazim juga dilambangkan dengan angka 0.

Contoh:

d. Matriks ubahan

Matriks ubahan (tanspos matriks) ialah matriks yang merupakan hasil pengubahan matriks lain yang sudah ada sebelumnya, dimana unsur-unsur barisnya menjadi unsur-unsur kolom dan unsur-unsur kolomnya menjadi unsur-unsur baris. Matriks ubahan biasanya dituliskan dengan menambahkan tanda aksen (`) pada notasi matriks aslinya.

Contoh: A = maka A` =

e. Matriks Simetrik

Matriks simetrik ialah matriks bujursangkar yang sama dengan ubahanya. Matriks A dikatakan simetrik apabila A = A`

Contoh: A = maka A` =

f. Matriks Simetrik Miring

Matriks simetrik miring ialah matriks bujursangkar yang sama dengan negatif ubahannya. Matriks A dikatakan simetrik miring miring apabila A = -A` atau A` = A.

Contoh:

g. Matriks Balikan

Matriks balikan (invers matriks) ialah matriks yang apabila dikatakan dengan suatu matriks bujursangkar menghasilkan sebuah matriks satuan. Jika A

merupakan sebuah matriks bujursangkar, maka balikannya dituliskan dengan notasi A^-1 dan AA^-1 = I.

Contoh: A= A^-1 = AA^-1 = = I

4. Determinan

Determinana dari sebuah mtriks adalah penulisan unsur-unsur sebuah matriks bujursangkar dalam bentuk determinaan yaitu diatara sepasang garis tegak atau . Determinan dari matriks A lajim ditulisakn dengan notasi |A| atau D_A.

Metode determinan mempunyai dua sifat dasar, yaitu:

a. Pertukaran baris dengan kolom tidak akan merubah nilai determinan.

b. Pertukaran baris dengan baris tidak akan merubah nilai determinan, tetapi hanya tanda nilai bilangannya saja yang berubah.

Matriks A = deteriman

Maka nilai numeriknya adalah

Contoh : A = maka

1) Untuk determinan berdimensi tiga yaitu :

maka,

Yang secara skematik dapat dituliskan sbgai berikut:

2) Untuk determinan berordo lebih dari 3 tiga yaitu :

Yang secara skematik dapat dituliskan sbgai berikut:

Jarak a ke f = f ke k = k ke p = 1

A 1 = afkp – bglm + chin – dejo – ahkn + belo – cfip + dgjm

Pola pertama ini hampir sama dengan pola dan rumus Sarrus 3×3 hanya saja berbeda tanda plus dan minus.

5. Minor dan Kofaktor

Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri a_ij dinyatakan oleh M_ij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1)^i+jM_ij dinyatakan oleh C_ij dan dinamakan kofaktor entri a_ij.

Contoh :

Description: Hasil gambar untuk gambar minor dan kofaktor

6. Sifat-sifat Matriks

Misalkan ada matriks A, B, dan C yang memiliki nilai determinan. Adapun sifat- sifatnya adalah

B. VEKTOR

1. Pengertian Vektor

Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna.

a. berapa jauh perpindahannya (jarak);

b. ke arah mana perpindahannya.

Perpindahan dari titik A ke titik B tersebut dapat digambarkan dengan suatu anak panah yang berpangkal di A dan berujung di B. Panjang ruas garis AB menyatakan jauh perpindahannya, sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan. Anak panah yang menyatakan perpindahan itu disebut vektor. Jadi, vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besaran seperti ini misalnya kecepatan, gaya, momen, dan sebagainya.

2. Notasi Vektor

Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis berarah menyatakan panjang (besar vektor), sedangkan arah panah menunjukkan arah vektor. Vektor diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misalnya . dapat dituliskan dengan menggunakan lambang huruf kecil yang dicetak tebal atau dengan huruf kecil yang dibubuhi tanda panah di atas huruf itu, misalnya a atau .

3. Operasi – operasi pada vector

a. Penjumlahan Vektor

Ada 2 metode yang dapat digunakan untuk menjumlahkan 2 buah vektor

Metode Segitiga

u+v

Resultan diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor pada titik ujung vektor yang lain, maka resultannya adalah vektor bertitik awal di titik awal u dan bertitik ujung di titik ujung v

Catatan :

a. Penjumlahan vektor bersifat komutatif, u + v = v + u

b. Metode Segitiga baik sekali digunakan untuk menjumlahkan lebih dari 2 vektor. Misalnya a + b + c + d + e , maka resultannya adalah vektor dengan titik awal di titik awal vektor a dan bertitik ujung di titik ujung vektor e

c. Pengurangan vektor u dan v adalah u – v = u + (-v)

u+v

Metode Jajaran Genjang

Vektor hasil (resultant) yaitu u + v diperoleh dari diagonal jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor u dan v setelah titik awal dan titik akhir ditempatkan berimpit.

b. Pengurangan Vektor

Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor dan vektor . Misalkan selisih vektor dengan vektor adalah vektor yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor dengan lawan vektor . Jadi, c = - = + (- )

Secara geometris selisih (pengurangan) vektor dengan vektor dapat diperlihatkan pada gambar :

c. Perkalian Skalar

Jika k adalah suatu skalar bilangan riil, u suatu vektor, maka perkalian skalar ka menghasilkan suatu vektor yang panjangnya |k| kali panjang u dan arahnya sama dengan arah u bila k positif atau berlawanan arah bila k negatif. Bila k = 0 maka ku =0 disebut vektor nol, yaitu vektor yang titik awal dan titik ujungnya berimpit.

-2u

4. Susunan Koordinat Ruang-n

a. Ruang dimensi satu (R¹)

Titik O mewakili bilangan nol, titik E mewakili bilangan 1. Ditulis O(0), E(1), P() artinya P mewkili bilangan dan kita letakkan P sehingga OP = satuan ke arah E (arah positif).

b. Ruang dimensi dua (R²)

Setiap pasangan bilangan riil (koordinat titik) dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu bidang rata, yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang dimensi dua, ditulis R².

c. Ruang dimensi tiga (R³)

d. Ruang dimensi n (Rⁿ)

Secara umum untuk Rⁿ dimana n adalah bilangan bulat positif, suatu titik di dalam Rⁿ dinyatakan sebagai n-bilangan riil. Misalnya titik X(x₁, x₂, ...,x_n).

5. Ruang Vektor

Ruang – n Euclides

Pada saat pertama kali ilmu vektor dikembangkan , hanya dikenal vektor - vektor di R² dan R³ saja, tetapi dalam perkembangannya ternyata didapatkan permasalahan yang lebih kompleks sehingga dikembangkan vektor – vektor diruang berdimensi 4 , 5 atau secara umum merupakan vektor – vektor di Rⁿ . Secara geometris memang vektor – vektor di R4 dan seterusnya memang belum bisa digambarkan , tetapi dasar yang digunakan seperti operasi – operasi vektor

masih sama seperti operasi pada vektor – vektor di R2 dan R3 . Orang yang pertama kali mempelajari vektor – vektor di Rn adalah Euclidis sehingga vektor – vektor yang berada di Rn dikenal sebagai vektor Euclidis , sedangkan ruang vektornya disebut ruang –n Euclidis.

b. Ruang Vektor Umum

Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penjumlahan tersebut kita pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang kita namakan jumlah u dan v, dengan perkalian skalar kita artikan setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar u oleh k. Jika semua aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vektor dan benda – benda pada V kita namakan vektor :

1) Jika u dan v adalah benda – benda pada V kita namakan vector

2) u + v = v + u

3) u + (v + w) = (u + v) + w

4) Ada vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V

5) Untuk setiap u di V, terdapat –u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0

6) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor di V, maka ku berada di V

7) k(u + v )= ku + kv

8) 8) (k + l)u = ku + lu

9) k(lu) = l(ku)

10) 10) 1u = u

6. Kombinasi Linier

Suatu vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor – vektor (u₁, u₂, … u_m) bila terdapat skalar – skalar k₁, k₂, …, k_m sedemikian hingga v = k₁ u₁ + k₂ u₂+ …+ k_m u_m.

Contoh:

a = [2, 1, 2], b = [1, 0, 3], c = [3, 1, 5]

Kita hendak menyatakan a sebagai kombinasi linier dari b dan c

Kita hitung k₁, dan k₂ yang memenuhi [2, 1, 2] = k₁ [1, 0, 3] + k₂ [3, 1, 5]

2 = k₁ + 3 k₂

1 = k₂

2 = 3 k₁ + 5 k₂

Dengan substitusi, diperoleh k₁ = -1 dan k₂ = 1, Jadi penulisan yang diminta adalah a = -b + c

a. Vektor yang Bebas Linier

Jika S={v_1,v_2,...v_r}adalah himpunan tak kosong vektor-vektor, maka persamaan vektor

k₁v₁ + k₂v₂+ ... + k_rv_r = 0

Memiliki paling tidak satu solusi, yaitu

k_1
=0, k₂= 0, ..., k_r = 0

Jika ini satu-satunya solusi, maka S disebut sebagai Himpunan bebas linear (linearly independent). Jika terdapat solusi-solusi lain, maka S disebut sebagai himpunan Tidak bebas linear (linearly dependent)

b. Vektor yang Tak Bebas Linier

Ketidak bebasan linier adalah suatu himpuanan vektor v₁, ..., v_ndikatakan tidak bebas secara linier, jika dan hanya jika salah satu diantaranya dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor sisanya, jika tidak, maka disebut dengan bebas secara linier

Contoh : Ketiga vektor adalah tidak bebas linier karena v₃ merupakan kombinasi linier dari v₁dan v₂

Perhatikan bahwa persamaan trakhir di bawah ini yang dapat dinyatakan dalam bentuk lain sebagai

Dimana 0 = yang menunjukkan vektor nol.

7. Pemetaan (Transformasi Linear)

Suatu fungsi yang memetakan suatu vektor di ruang vektor V ke ruang vektor W ( dinotasikan dengan T : V àW ) disebut sebagai transformasi linear bila untuk setiap u, v V berlaku::

a. T(u+v) = T(u) + T(v), untuk semua vektor u dan v di V

b. T(ku) = kT(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k

Contoh:

Diketahui T : R²àR³ dengan, apakah T merupakan transformasi linier?

Jawab:

Misalkan ,

Syarat 1

Syarat 2

Untuk sembarang skalar k, k

Kedua syarat terpenuhi, jadi merupakan transformasi linier

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Vektor adalah aarah atau perpindahan. Perpindahan dari titik A ke titik B tersebut dapat digambarkan dengan suatu anak panah yang berpangkal di A dan berujung di B. Panjang ruas garis AB menyatakan jauh perpindahannya, sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan. Anak panah yang menyatakan perpindahan itu disebut vektor. Jadi, vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Matriks adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.

DAFTAR PUSTAKA

Dumairy, 2013. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi.Yogyakarta: BPFE

Teguh, Muhammad. 2014. Matematika Ekonomi. Jakarta: PT RajaGrafindo Persada.

Susatio sudigno dan Nartanto. 1992. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3 rd Edition. Jakarta : Erlangga.

Rorres, Anton. 2004. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: jakarta.

Sibaroni Yuliant. 2002. Buku Ajar Aljabar Linier. Bandung.

Search This Blog

Adianto Tanjung